设$f(x)$和$g(x)$是$F[x]$的任意两个多项式，并且$g(x)\neq 0$.那么在$F[x]$中可以找到多项式$q(x)$和$r(x)$,使

\begin{equation}

f(x)=g(x)q(x)+r(x)

\end{equation}

这里或者$r(x)=0$,或者$r(x)$的次数小于$g(x)$的次数.满足以上条件的多项式$q(x)$和$r(x)$只有一对.

证明：先证存在性.设$f(x)$的次数为$m(m\geq 0)$.$g(x)$的次数为$n(n\geq 0)$.若$m<n$,则令$q(x)=0,r(x)=f(x)$.当$m\geq n$,则$m> 0$.令$f(x)=a_mx^m+\Delta_1(a_m\neq 0)$.$g(x)=b_nx^n+\Delta_2(b_n\neq 0)$.则$$f(x)=\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}g(x)+\Delta_1-\Delta_2\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}$$

如果多项式$\Delta_1-\Delta_2\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}$的次数小于$g(x)$的次数，则我们令$\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}=q(x),r(x)=\Delta_1-\Delta_2\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}$.如果多项式$\Delta_1-\Delta_2\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}$的次数大于或等于$g(x)$的次数，则把$\Delta_1-\Delta_2\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}$看作新的$f(x)$继续上述过程.最终我们总能得到(1)的形式.

 

下面证明唯一性.若存在另一组$q'(x),r'(x)$,使得

\begin{equation}

f(x)=g(x)q'(x)+r'(x)

\end{equation}

则$g(x)(q(x)-q'(x))+r(x)-r'(x)=0$.因为$g(x)\neq 0$,所以只能是$q(x)-q'(x)=0$且$r(x)-r'(x)=0$.则$g(x)=g'(x),r(x)=r'(x)\Box$